กราฟออยเลอร์

  3.  กราฟออยเลอร์

ออยเลอร์ได้ให้ทฤษฎีที่เกี่ยวกับปัญหานี้ไว้ดังนี้

·                     เครือข่าย ที่แสดงเป็นกราฟจะประกอบด้วยจุดเชื่อมโยง (Vertices) และเส้นเชื่อมโยงระหว่างจุด เรียกว่า arcs

·                     จุด ที่มีจำนวนเส้นที่เชื่อมออกไปยังจุดอื่นเป็นจำนวนคี่ เรียกว่า odd และถ้าจุดนั้นมีเส้นเชื่อมออกไปยังจุดอื่นเป็นจำนวนคู่ จะเรียกว่า even

·                     เส้นทางออยเลอร์ คือเส้นทางที่ลากผ่านเส้นต่าง ๆ ในเครือข่าย โดยแต่ละเส้นลากผ่านได้เพียงครั้งเดียว

·                     ทฤษฎีของออยเลอร์ กล่าวว่า ถ้าหากว่าเครือข่ายใดมีจุดที่เป็น odd มากกว่าสองขึ้นไป จะไม่มีทางสร้างเส้นทางออยเลอร์ได้

ปัญหาสะพานเคอนิกส์เบิร์ก มีอยู่ว่า ณ เมืองเคอนิกส์เบิร์กมีเกาะกลางแม่น้ำพรีเกล (Pregel)

จำนวน  2 เกาะ และมีสะพานที่เชื่อมระหว่างเกาะและเมืองดังรูปต่อไปนี้

จากกราฟ สามารถแปลงได้เป็นปัญหาการลากผ่านเส้นเชื่อมของกราฟดังรูปข้างต้นจนครบทุกเส้นโดยไม่ต้องยกปากกาและผ่านเส้นแต่ละเส้นเพียงครั้งเดียว โดยที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน

ตัวอย่าง

กราฟต่อไปนี้เป็นกราฟออยเลอร์

    ปัญหาหนี่งที่ดูคล้ายกับปัญหาวงจรออยเลอร์ คือปัญหาการหาวิถีในกราฟที่ไม่ใช้จุดยอดซ้ำกันยกเว้นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดต้องเป็นจุดเดียวกัน ซึ่งก็คือ วัฎจักรและวัฎจักรนี้ผ่านครบทุกจุดยอดในกราฟนี้ จะเรียกวัฎจักรนี้ว่า

วัฎจักรแฮมิลตัน

ถ้าG มีวัฎจักรแฮมิลตัน จะเรียก G ว่าเป็นกราฟแฮมิลตัน(Hamiltonian graph)